populasyon dinamiği BÜYÜME DENKLEMİ PARAMETRELERİNİN TAHMİNİ

Zamana bağlı olarak balıklar hem boyca hem de ağırlıkça büyür. Yani tüm diğer canlılar gibi yaşlandıkça balıkların da boyları ve ağırlıkları artar. Boyca büyüme belli bir yaştan sonra durur. Fakat ağırlık artışı devam eder. Her şeye rağmen balıkların bir ömrü vardır. Eninde sonunda belli bir boya kadar ulaşabilir ve sonra da ölürler. Hem boy hem de ağırlık için büyüme denklemi mevcut olup burada daha önemli olan boyca büyüme modeli üzerinde durulacaktır. Bu model Von Bertalanffy tarafından bir formülle ifade edilmiş olup denklem ve parametreleri aşağıda sunulmuştur.

L(t) = L_oo *[1 - exp(-K*(t-t₀))]
L(t): Herhangi bir (t) yaştaki balığın boyu
L_oo : Balığın ulaşabileceği en yüksek boy (L sonsuz)
K: Yıllık oransal büyüme
t₀: Balığın boyunu “sıfır” varsaydığımızda bulunacağı yaş
olarak ifade edilebilir. Modeli grafik gösterimi de bir altta sunulmuştur.



Peki bu model ne işe yarar?
Öncelikle bir balığın hangi yaşta ne büyüklüğe ulaştığını öğrenebiliriz. Öyle ki o yaşta bir balığı hiç elde edemesek bile (mesela 3 yıl ömrü olan hamsi için 5 yaş) denklemde (t) gördüğümüz yere yazdığımızda sonuçta o yaştaki balığın boyunu tahmin edebiliriz.
K ve L_oo bir türe ait populasyon için iki önemli parametre olup bu model ile bu parametreler tahmin edilebilir. Yani hangimiz bir balığın en fazla hangi boya eriştiğini yada bir yılda kaç kat büyüdüğünü bilmek istemeyiz?

Balıklarda yaşın ölçümü zor bir iştir. Pullar, kafa taşları, yüzgeç dikenleri ve diğer kemikler yaş tahmininde kullanılabilmekle beraber, aynı balığa ait farklı parçalardan yapılan yaş okumalarında farklı değerlere ulaşmak mümkündür. Hatta aynı kişi aynı pula tekrar tekrar baktığında farklı değer okuyabilir. Bu nedenle populasyon dinamiği çalışmalarında mümkün olduğunca yaş kullanılmaktan kaçınılır. Yaş yerine başka bir değer koyamıyorsak zorunlu olarak yaşı kullanmak zorundayız. Yaş tahminlerimizi güçlendirmek için mümkün olduğunca çok sayıda balıkta (her yaş grubundan 10 adetten fazla) okuma yapılmalı ve aynı pullar yada otolitler farklı kişilere tekrar okutulmalıdır.
Denklemi oluşturan K, L_oo ve t_o parametrelerinin hesaplanması için elimizde en az 3 yaşa ait ortalama balık boyu bilgisine ihtiyaç vardır. Veri elde edilebilen balık türlerinde bunun 5 yaş grubuna kadar çıkartılması tahminimizi gerçek değerlere daha fazla yaklaştırır.
Excel programında yaş ve bunlara karşılık gelen boy değerleri (cm) birinci ve ikinci sütuna, bir sonraki yaşa ait boylar da üçüncü sütununa yazalım.

Yaş (t)	Boy (Lt)	Lt+1
0	10	17
1	17	23
2	23	28
3	28	31
4	31	33
5	33

Daha önce Boy-Ağırlık ilişkisi denklemi parametrelerini tespit ederken yaptığımız şekilde, Lt ve Lt+1 değerlerini fareyle tarayıp bir dağılım grafiği çizdirelim. Yalnız 5. yaşta 33 cm lik değerin karşısında değer olmadığı için sadece tabloda kırmızı ile gösterilen 4. yaşa kadar olan değerleri taramalıyız. Grafik tipi olarak Dağıtım ve üst sol köşedeki sadece işaretçilerin göründüğü tipi seçelim.


Grafik oluştuktan sonra içerideki noktalara farenin sağ tuşuyla klikleyelim.


Çıkan menüden “eğilim çizgisi ekle” ye tıklayalım. Çıkan pencerede “doğrusal” seçeneğini ve en altta “grafik üzerinde Denklemi görüntüle” seçeneğini aktif edelim.



Sonuçta aşağıda gördüğümüz şekilde bir grafik elde ederiz.


Bu grafikte denklem y = 0,7615x + 9,7992 şeklinde oluşur. Yani;
a= 9.7992
b= 0.7615 dir.
Bu katsayılar kullanılarak K ve L_oo aşağıdaki eşitlikler ile tahmin edilmektedir.

K = - Ln (b) =-Ln(0.7615) = 0.2725
L_oo = a/(1-b) = 9.7992/(1-0.7615) = 9.7992/0.2385 = 41.09 cm

Yani bu balık türünün yıllık ortalama büyümesi %27.25, erişebileceği en büyük boy ise 41.09 cm dir.
to in tahmini ile devam edecektir

 Eklenen Resimler

Şimdi bir sağlama yapalım;

Balıklardan ölçtüğümüz yaş ve boy değerleri ile VBBD ile hesaplanan boyları karşılaştıralım, bakalım birbirine ne kadar uyuyor?



Görüldüğü gibi doğru ölçüm yapıldığında elde ettiğimiz parametreler ile ölçtüğümüz değerler birbirine çok uyumlu çıkmaktadır.

Şimdi bu VBBD ne işe yarar sorusunun cevabını verelim. Örnekteki gibi biz bu balıktan en büyük 5 yaşında birey görmüşüz. Peki bu balık 10 yaşına gelse boyu ne kadar olurdu?

L_t= 41.09 (1-e^{(-0.2725(t+1.0180))}) bu denklemde t gördüğümüz yere 10. yaşı yazalım ve L₁₀ yani 10 yaşındaki balığın boyunu hesaplayalım.

L₁₀=39.05 cm olarak bulunmaktadır. Yani bu balık 10 yaşına kadar büyürse boyu 39.05 cm olacaktır.

http://www.gelbalder.org/showthread.php?t=3524